第8回統計的仮説検定②

統計的仮説検定の考え方を理解し、例として２つの母数の差についての検定について理解する。

【講師】秋光淳生（放送大学准教授）
【キーワード】帰無仮説、有意水準、2標本の母数の検定

8-1

１元配置分散分析について述べた次の４つの文の中に誤っているものが１つある。それはどれか。

1つ選択してください:

グループを混ぜて全体から計算された総平方和は、各グループ内での平均から計算される群内平方和と、各グループの平均と全体の平均との差から計算される群間の平方和に分解することができる

それぞれのグループ内でばらつきが少なく、グループ間で平均に差がある場合には、総平方和にしめる群内平方和の割合が小さくなると考えることができる

各グループの値がそれぞれ独立に同じ平均と分散の正規分布に従うとするときに、群内平方和と群間平方和を分散で割った値はカイ２乗分布に従うと考えることができる

自由度

m_{1}

のカイ２乗分布に従う確率変数

W_{1}

と自由度

m_{2}

のカイ２乗分布に従う確率変数

W_{2}

から計算される

\frac{W_{1} / m_{1}}{W_{2} / m_{2}}

は、指数分布に従うことが知られている

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3標本以上の場合に、その中から2標本を取り出した組み合わせに対して比較を行うことを多重比較と言います。比較を繰り返すと、本当は差がないのに差があると判定される可能性が高くなります。そこで、分散分析を行います。

グループ間で平均に差がある場合には、群間での違いが大きくなるので、群内の平方和の割合が小さくなります。それをF値を元に検定します。F分布ではなく、指数分布としている点が誤りということになります。

正答: 自由度 $m_{1}$ のカイ２乗分布に従う確率変数 $W_{1}$ と自由度 $m_{2}$ のカイ２乗分布に従う確率変数 $W_{2}$ から計算される $\frac{W_{1} / m_{1}}{W_{2} / m_{2}}$ は、指数分布に従うことが知られている

8-2

次の文は適合度と独立性の検定について述べたものである。この中に誤ったものが1つある。それはどれか。

1つ選択してください:

適合度の検定とは何種類かの事象の起こった回数である観測度数を測定し、それが期待される割合で起こっているかどうかを調べているものである。

学習センターの学生に対して、性別と血液型の調査を行った。このとき血液型が性別に関係なければ、男性の血液型の人数の比率と女性の各血液型の人数の比率とは同じになると考えることができる。そこで、男女の合計の血液型の人数比率から期待される期待度数と観測度数の差を計算して独立性の検定を行うことができる。

適合度検定において、観測度数と期待度数の差を２乗したものを期待度数で割った値をすべて足したものは近似的にt分布に従うと考えることができるので、ここから事象が起こる確率を計算し、検定を行う。

k

個の項目から構成される項目

A

（

A_{1}

から

A_{k}

まで）と

r

個の項目から構成される

C

(

C_{1}

から

C_{r}

まで)の独立性検定における自由度は

(k - 1) \times (r - 1)

である。もし

A

が、合格したかどうかの2項目、

C

が「勉強したかどうか」の2項目であるとき、自由度は 1 である。

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あなたの答えは正解です。

観測度数が正規分布に従うとして、観測度数と期待度数の差を２乗したものを期待度数で割った値をすべて足したものが近似的にカイ2乗分布に従うことを利用して検定を行っています。

正答: 適合度検定において、観測度数と期待度数の差を２乗したものを期待度数で割った値をすべて足したものは近似的にt分布に従うと考えることができるので、ここから事象が起こる確率を計算し、検定を行う。

8-3

Rにおいて乱数を発生させ、その相関性の有無を検定した。

> x <- rnorm(10,0,1)

> y <- rnorm(10,0,1)

> x

[1] 0.79397566 0.12003014 -0.42167634 -0.08469753 1.85150380

[6] 1.80674504 -0.69158560 -0.85117806 -1.13299852 -1.08321274

> y

[1] -1.2663729 0.2970264 -0.7634148 -1.8710234 0.9401760 0.5051271

[7] 0.6495829 -0.5643450 0.3609686 -1.6630280

> cor.test(x,y)

data: x and y

t = 1.0912, df = 8, p-value = 0.3069

alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-0.3487034 0.8067418

sample estimates:

cor

0.3599512

これについて述べた次の文の中には誤っているものが1つある。それはどれか。

1つ選択してください:

相関係数は-1から1までの値を取り、1に近いほど関係が強く、-1 に近いほど関係が弱い。0.30693 はその間なので、比較的関係が強いと考えることができる。

このxとｙから計算される相関係数は cor(x,y) として計算することができる。その相関係数を

r

として、

\frac{r \sqrt{(10 - 2)}}{\sqrt{1 - r^{2}}}

を計算すると、およそ1.0912 となる。

相関係数では標本から計算される値がt分布に従うと考えて検定を行う。

t=1.0912とあるが、自由度8のt分布で t< -1.0912 か t>1.0912 よりも大きくなる確率は Rでpt(-1.0912,8)+(1- pt(1.0912,8) ) で計算することができ、約 0.3069 となる。

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相関性の検定です。

信頼係数についての詳細は第6回で確認してください。相関係数とは、関係の強さを表したものです。-1や1に近いほど関係が強く、0に近いほど関係が弱いということになります。

cor.test は帰無仮説として相関係数が0 であるとして事象の確率を計算し、その確率が低いと対立仮説である相関があるということが採択されることになります。

また、XとYとの相関があるということは、XとYの関係が強いということを意味していますが、Xが原因でYが起こるという因果関係を意味しているとは限りません。

正答: 相関係数は-1から1までの値を取り、1に近いほど関係が強く、-1 に近いほど関係が弱い。0.30693 はその間なので、比較的関係が強いと考えることができる。

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