第7回　広義積分、体積・曲線の長さ

第7回　広義積分、体積・曲線の長さ
前半では、連続でない関数や積分区間が有限でない場合の広い意味での定積分（広義積分）を取り扱う。広義積分で定義される特殊関数も紹介する。後半では、定積分の応用として、体積や曲線の長さを求める方法を学習する。また、具体的な問題を通して理解が進むように心がけ、関数の表現を変えて体積を求める方法も体験する。
【キーワード】
広義積分、異常積分、無限積分、特殊関数、ガンマ関数、体積、回転体の体積、曲線の長さ、極座標

サイクロイドとは、定円が一定の直線を滑らずに転がる時、その定円周上の一定点の軌跡である。この曲線はガリレオによって命名され、その弟子トリチェリーによって研究された。ホイヘンスはサイクロイド振り子を使って時計を作った。また、ベルヌーイ兄弟らによって、最速降下曲線であることがわかった。

サイクロイドの図示【数Ⅲ】サイクロイドの速度と道のり

サイクロイド（英語: cycloid）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線（はいせん）とも呼ばれる。サイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。

カージオイド

（英: cardioid）は、極座標の方程式

r=a(1 + \cos \theta)

によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 + 「είδος (eidos, 形）」）。

直交座標の方程式では $(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 -2ax)-a^2 y^2=0$

で、パラメータ表示では

\begin{align}x&=a(1 + \cos \theta)\cos \theta,\\ y&=a(1 + \cos \theta)\sin \theta\end{align}

で、それぞれ表される。

レムニスケート

レムニスケート（英: lemniscate）は極座標の方程式

r^2 = 2a^2 \cos 2\theta

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。直交座標の方程式では

(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0

アステロイド (曲線)

アステロイド（英: astroid^[1]）の語義はギリシア語: aster（星の）+ -oid（ようなもの）であり、星芒形（せいぼうけい）、星形とも呼ばれる。アステロイドは四つの尖点を持つ内サイクロイド（四尖点内擺線）であり、四尖点形 (tetracuspid) の名称も古くから用いられている（ほかには、cubocycloid, paracycle など）。アステロイドを縮閉、伸開、包絡などの概念を用いて他の曲線から得ることができる。類似の曲線として楕円の縮閉線がある。また、アステロイドはスーパー楕円の一種である。

Pocket

有名曲線のグラフ・式一覧（カージオイド・サイクロイドなど）

サイクロイド

カージオイド

レムニスケート

アステロイド (曲線)